\section{Ejercicion N 10}

Considerar el Ejercicio 9, sin la existencia de la restricción de superficie disponible. Se pide entonces, calcular los lotes de ambos productos que hagan mínimo el costo total esperado, considerando la decisión de que la cantidad máxima de dinero a inmovilizar en stock no supere los 145.800 \$.

\comandoResolucion  \\

Se asume $C_1'$ = $C_2' = 0 $  

Se quiere optimizar la siguiente expresión:  \\

$$  CTE = \sum_{i=1}^{2} (b_{i}*D_{i} + \frac{1}{2}\ *C_{1i}*T_{i}*q_{i} + \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}})\ $$

Sujeto a la restricción: \\

$$\sum_{i=1}^{2}b_{i}*q_{i} \leq TI,\,con\,TI = 145800\$ $$

Verificamos si se cumple la restricción: \\

$$  C_{1A} = C_{1A}' + b_{A}*i = 0 + 150 \frac{\$}{u}\ *0.24 \frac{1}{año}\ = 36 \frac{\$}{u*año}\ $$

$$  q_{oA} = \sqrt{ \frac{2*k_{A}*D_{A}}{C_{1A}*T}\ } = \sqrt{ \frac{ 2*500\$*18000\frac{u}{año}\ }{36 \frac{\$}{u*año}\ }\ } = 707,1067u $$

$$  C_{1B} = C_{1B}' + b_{B}*i = 0 + 100 \frac{\$}{u}\ *0.24 \frac{1}{año}\ = 24 \frac{\$}{u*año}\ $$

$$  q_{oB} = \sqrt{ \frac{2*k_{B}*D_{B}}{C_{1B}*T}\ } = \sqrt{ \frac{ 2*500\$*24000\frac{u}{año}\ }{24 \frac{\$}{u*año}\ }\ } = 1000u $$

$$  \sum_{i=1}^{2} b_{i}*q_{i} \approx 150 \frac{\$}{u} \ * 707.1067u + 100 \frac{\$}{u}\ * 1000u \approx 206066\$ > TI = 145800 \$ $$

Por lo tanto no se cumple la restricción y debe plantearse el lagrangiano. \\
Langrangiano \\
$$ L = \sum_{i=1}^{2} (b_{i}*D_{i} + \frac{1}{2}\ *C_{1i}*T_{i}*q_{i} + \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}})\ + \lambda * (\sum_{i=1}^{2} b_{i}*q_{i} - TI) $$
\\

Derivando $L$ con respecto a $q_{i}$ e igualando a cero: \\
$$  \diferencial {L}{q_{i}} = \frac{1}{2} \ * C_{1i} * T_{i} - \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}^{2}}\ + \lambda * b_{i} = 0 $$

Se despeja $q_{i}$ \\
$$ q_{i} = \sqrt{\frac {2*k_{i}*D_{i}}{C_{1i}*T + 2 * \lambda * b_{i}}} $$ \\

Derivando $L$ con respecto a $\lambda$ e igualando a cero: \\
$$  \diferencial {L}{\lambda} = \sum_{i=1}^{2} b_{i}*q_{i} - TI = 0 $$ \\

Se despeja $TI$
$$ TI = \sum_{i=1}^{2} b_{i}*q_{i} $$ \\

Para encontrar $q_{A}$ y $q_{B}$ se prueban distintos valores de $\lambda$ de forma tal de 
acercarnos lo más posible a lo propuesto por la restricción, y de esa manera aprovechar el 
espacio del almacén al máximo posible: \\

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c}
\hline
$\lambda$ & $q_{A}$ & $q_{B}$ & $\sum_{i=1}^{2}b_{i}*q_{i}$\\ \hline
0 & 707.1067 & 1000 & 206066.00 \\ \hline
1 & 231.4550 & 327.3268 & 67450.93 \\ \hline
0.5 & 311.0855 & 439.9413 & 90656.95 \\ \hline 
0.25 & 402.6936 & 569.4947 & 117353.51 \\ \hline
0.125 & 494.8716 & 699.8542 & 144216.16 \\ \hline
0.1 & 522.2329 & 738.5489 & 152189.82 \\ \hline
0.1125 & 508.0005 & 718.4212 & 148042.19 \\ \hline
0.11875 & 501.3071 & 708.9554 & 146097.605 \\ \hline
0.121875 & 498.0582 & 704.3607 & 145144.80 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Entonces 

$$\boxed{\lambda = 0.121875}$$
$$\boxed{q_{A} = 498.0582\,u}$$
$$\boxed{q_{B} = 704.3607\,u}$$

